2. Teoremas de rectas paralelas

Primer Parcial

1. Ángulos

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas o curvas. Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Clasificación

a) Recto: mide 90°

b) Agudo: Mide más de 0° y menos de 90°

c) Colineales o llanos: Mide 180°

 d) Obtuso: Mide más de 90° y menos de 180°

e) Cóncavos: Mide más de 180° y menos de 360°

f) Perigonales: Miden 360° 

Teoremas de los ángulos

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales.

2. Teoremas de rectas paralelas

I. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

II. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

III. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

IV. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

V. Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.

VI. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

VII. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

VIII. Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

IX. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

 

    

3. Triángulos

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• ·         Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño.
• ·         Como triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
• ·         Como triángulo escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes.

                                         

Escaleno                                        Isósceles                                                Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS

• En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180°.
• En todo triángulo la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no continuos.
• Para todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360°.
• En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

Ejemplo:

1. Si el complemento de ángulo x es 2x, ¿Cuál es el valor de x en  grados? 

Solución: 

2x+ x= 90° 

3x= 90°

x =90° / 3

x= 30°

4. Teoremas de triángulos congruentes

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño.

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

 Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

• Criterio ALA significa Ángulo-Lado-Ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.
• Criterio LLA significa Lado-Lado-Ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
• Criterio LLL significa Lado-Lado-Lado. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
• Criterio LAL significa Lado-Ángulo-Lado. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

5. Teoremas de triángulos semejantes.

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos.

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

        

 

2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

      

3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual

              

6. Teorema de Thales de Mileto

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. 

 El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

7.Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Ejemplo